2017-12-31 01:31:03
Απίστευτο μαθηματικό «τρικ» Η μπίλια στο... έλεος ενός απίθανου αυτοσχέδιου μηχανισμού, που έβλεπε τη ρουλέτα σαν μια πίτσα με οχτώ κομμάτια.
Η γοητεία του γρήγορου κέρδους. Παράλληλα και η ικανοποίηση ότι νίκησες το «τέρας». Απέναντί τους ο κανόνας ότι όσο περισσότερο παίζεις τόσο αυξάνονται οι πιθανότητες να χάσεις. Στηρίζεται στο νομοτελειακό «αδιέξοδο» ότι η μπάνκα του καζίνο θα είναι πάντα μεγαλύτερη από τη δική σου.
Μόνο οι επαγγελματίες κατάφεραν, ως εξαιρέσεις του κανόνα, να διαφύγουν. Αυτοί που (όπως ο δικός μας Τζον Τάραμας) μετρούσαν φύλλα στο Blackjack ή οι πολύ επιδέξιοι στο Poker. Κανείς απ’ όσους μακροημέρευσαν στα καζίνο δεν έχει τη φράση «τύχη» στο λεξιλόγιο του. Για αυτό και τα καζίνο έλαβαν μέτρα, είτε «επικηρύσσοντας» τους, είτε στρατολογώντας μηχανές στο Blackjack για το ανακάτεμα των φύλλων.
Η χαρτοπαιξία, λόγω της φύσης των παιχνιδιών, έδινε το δικαίωμα στους μετρ του είδους να γυρίσουν τις πιθανότητες υπέρ τους και σε βάθος χρόνου να είναι αυτοί οι κερδισμένοι. Στη ρουλέτα όμως, που επικρατεί ο νόμος του ψυχρού, καθαρού τζόγου, κανείς δεν κατάφερε να «ξεγελάσει» τον ντίλερ.
Ή... μήπως όχι;
Το 2011 δύο μαθηματικοί από το Πανεπιστήμιο του Περθ στη Δυτική Αυστραλία και το Πολυτεχνείο του Χονγκ Κονγκ, επιχείρησαν με μια μελέτη τους να βάλουν τάξη στο χάος της μπίλιας. Ο Μάικλ Σμολ και ο Μάικλ Τσε έδειξαν ότι με μερικές μετρήσεις και με έναν μικρό υπολογιστή ή ένα smart phone μπορεί κάποιος πραγματικά να αντιστρέψει τις πιθανότητες στη ρουλέτα προς όφελός του.
Το κόλπο έγκειται στο να καταγραφεί πότε η μπίλια και ένα καθορισμένο τμήμα τού περιστρεφόμενου τροχού περνούν από ένα επιλεγμένο σημείο.
Το μοντέλο τους χωρίζει το παιχνίδι σε δύο μέρη: αυτό που συντελείται εν όσω η μπίλια γυρίζει γύρω από τη στεφάνη του τροχού και στη συνέχεια πέφτει, το οποίο είναι εξαιρετικά προβλέψιμο, και στο τι συμβαίνει από τη στιγμή που η μπίλια αρχίζει να αναπηδά σε διάφορα σημεία – διαδικασία η οποία είναι χαοτική.
Οι δύο ερευνητές κατόρθωσαν να υπολογίσουν χονδρικά σε ποιο σημείο η μπίλια είναι πιθανότερο να ξεκινήσει το ακανόνιστο αναπήδημά της και άρα σε ποιο τμήμα του τροχού είναι πιθανότερο να σταματήσει.
Χρησιμοποιώντας μια διακριτική συσκευή μέτρησης, οι Σμολ και Τσε κατάφεραν να προβλέψουν σε ποιο μισό του τροχού θα έπεφτε η μπίλια σε 13 από τις 22 δοκιμές. Σε τρεις δοκιμές μάλιστα το μοντέλο προέβλεψε την ακριβή θέση. Αυτό ισοδυναμεί με αντιστροφή των πιθανοτήτων από 2,7% υπέρ της μπάνκας σε 18% υπέρ του παίκτη.
Αυτός ο αριθμός των δοκιμών είναι πολύ μικρός, γι’ αυτό στη συνέχεια οι επιστήμονες επαλήθευσαν την τεχνική τους με 700 δοκιμές στις οποίες χρησιμοποίησαν ένα αυτόματο σύστημα με κάμερα, το οποίο όμως δεν ήταν καθόλου διακριτικό ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο καζίνο.
Το πιθανότερο είναι βέβαια ότι οι δυο τους εμπνεύστηκαν από τον μοναδικό άνθρωπο που έχει αποδεδειγμένα εφαρμόσει σε καζίνο την τεχνική υπολογισμού της πορείας της μπίλιας.
Στα τέλη της δεκαετίας του ‘70 ένας επιφανής Αμερικανός μαθηματικός, ονόματι Ντόιν Φάρμερ, χρησιμοποίησε τον πρώτο υπολογιστή στον κόσμο που μπορούσε να φορεθεί (κρυμμένο μέσα στο παπούτσι του) για να κερδίσει τα τραπέζια της ρουλέτας στη Νεβάδα. Για περίπου 40 χρόνια όμως δεν είχε αποκαλύψει πώς το έκανε.
Η θεωρία των Σμολ και Τσε τον… ιντρίγκαρε να σπάσει τη μακρά σιωπή του το 2012. «Δεν μιλούσα επειδή δεν ήθελα να κάνω γνωστή οποιαδήποτε πληροφορία θα μπορούσε να εμποδίσει οποιονδήποτε να πάρει τα χρήματα των καζίνο. «Δεν βλέπω πλέον κάποιον ικανό λόγο για να διατηρήσω περισσότερο τη σιωπή μου», έγραψε στο «New Scientist» ο Φάρμερ, ο οποίος σήμερα είναι καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης.
Ο 65χρονος σήμερα καθηγητής Φάρμερ υποστήριξε τότε ότι το μοντέλο των δύο ερευνητών μοιάζει πολύ με το δικό του, με μόνη διαφορά πως εκείνοι θεωρούν ότι η κύρια δύναμη που επιβραδύνει την μπίλια είναι η τριβή με τη στεφάνη, ενώ εκείνος είχε διαπιστώσει ότι αυτή ήταν η αντίσταση του αέρα.
Ο Ντόιν Φάρμερ
Στο «κόλπο» του ο Φάρμερ είχε μεταξύ άλλων συνεργάτη τον συμφοιτητή του στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας στη Σάντα Κρους, Νόρμαν Πάκαρντ, ο οποίος θα γινόταν αργότερα ένας από τους θεμελιωτές της «θεωρίας του χάους».
Στα τέλη της δεκαετίας του ’70 ήταν τελειόφοιτοι και παρέα ίδρυσαν την ομάδα των «Eudaemons» ή «Ευδαιμόνων», εμπνεόμενοι από τη φιλοσοφία του ευδαιμονισμού.
Στόχος τους ήταν να αναπτύξουν με επιστημονικές μεθόδους έναν μαθηματικό τύπο ο οποίος θα τους επέτρεπε να κερδίσουν στη ρουλέτα. Αν το κατάφερναν, θα χρησιμοποιούσαν τα κέρδη για να ιδρύσουν έναν επιστημονικό σύλλογο.
Ύστερα από δύο χρόνια μελετών τα μέλη της ομάδας εφόρμησαν σε καζίνο του Λας Βέγκας εξοπλισμένοι με κρυφές κάμερες – οι οποίες κατέγραφαν τις κινήσεις του τροχού της ρουλέτας και της μπίλιας – και μίνι υπολογιστές «χωμένους» στα παπούτσια τους.
Το σύστημα λειτουργούσε με δύο πρόσωπα: έναν «παίκτη», ο οποίος πόνταρε τα χρήματα, και έναν «παρατηρητή», ο οποίος υπολόγιζε με βάση τα δεδομένα τις πιθανότητες και έδινε οδηγίες στον παίκτη.
Ο «παρατηρητής» τροφοδοτούσε με δεδομένα τον ενσωματωμένο στο παπούτσι του μικρό υπολογιστή, πατώντας ένα διακόπτη με το μεγάλο δάχτυλο του ποδιού του. Αυτός ο υπολογιστής διαβίβαζε την πρόβλεψη στον υπολογιστή που φορούσε ο «παίκτης», μέσω ασθενών ραδιοσημάτων. Ο δεύτερος υπολογιστής, εν συνεχεία, μετέτρεπε τα ραδιοσήματα σε πληροφορίες μέσω ενός δονητικού συστήματος αποτελούμενο από τρεις σωληνοειδείς ενεργοποιητές, που ήταν κρυμμένοι μέσα από το πουκάμισο, συνδέοντας θώρακα και στομάχι.
Η ρουλέτα ήταν νοερά χωρισμένη σε οχτώ κομμάτια, σαν μία πίτσα. Ο «παίκτης» αντιλαμβανόταν σε ποιο από τα οχτώ κομμάτια έπρεπε να τοποθετήσει το ποντάρισμα του, μέσω του αριθμού των ηλεκτρομαγνητών που χτυπούσαν ρυθμικά στο στομάχι του. Υπήρχε και μια ένατη επιλογή: να μη γίνει στην επόμενη μπίλια κανένα ποντάρισμα.
Η εξόρμηση αποδείχθηκε κερδοφόρα αλλά και… καυτή. Οι συσκευές που χρησιμοποιούσαν οι «Ευδαίμονες» ήταν αυτοσχέδιες και η μόνωση στον εξοπλισμό μιας παίκτριας από την ομάδα χάλασε, με αποτέλεσμα να καεί. Κατόπιν αυτού, οι δύο ιδρυτές αποφάσισαν, σύμφωνα με όσα έχουν αναφέρει οι ίδιοι, να διαλύσουν την ομάδα.
Το πείραμά τους όμως είχε στην ουσία πετύχει: απέδειξαν για πρώτη φορά ότι με τη βοήθεια ορισμένων δεδομένων μπορούσε κανείς να προβλέψει με ικανοποιητική ακρίβεια πού θα πέσει η μπίλια μιας ρουλέτας.
Το σύστημά τους απέφερε κέρδος κατά μέσο όρο 44% για κάθε δολάριο που πόνταραν. Δεν είχαν κάνει όμως μεγάλα πονταρίσματα, υπό το φόβο να μην τραβήξουν την προσοχή των ανθρώπων του καζίνο. Όταν σταμάτησαν είχαν κερδίσει συλλογικά 10.000 δολάρια.
Η ιστορία των δύο φοιτητών έγινε βιβλίο πολλά χρόνια αργότερα με τον τίτλο «Η πίτα των Ευδαιμόνων», από τον συγγραφέα Τόμας Μπας. Τα παπούτσια που φορούσαν τότε και το ηλεκτρομαγνητικό σύστημά τους εκτίθενται πλέον στο μουσείο Heinz Nixdorf του Πάντερμπορν της Γερμανίας.
To 2016 o διαπρέπων στον τομέα της πληροφορικής έρευνας Βρετανός επιστήμονας, Γκρέιαμ Κένταλ, υποστήριξε ότι τα τεχνικά μικροπροβλήματα θα μπορούσαν να ξεπεραστούν εύκολα στις μέρες μας και η πρόβλεψη να έχει μεγαλύτερη ακρίβεια.
Και ποιος μπορεί βέβαια να βάλει το χέρι του στη φωτιά ότι το δίδυμο των Φάρμερ και Πάκαρντ δεν επέστρεψε με εξελιγμένη τεχνολογία κάποια χρόνια αργότερα, εφαρμόζοντας το σύστημα με «θύματα» κάποια άλλα καζίνο. Ή ότι κάποιοι επίδοξοι μιμητές τους δεν επιδίδονται ακόμα και σήμερα σε τακτική αφαίμαξης κάποιας μπάνκας, σε κάποιο μέρος του κόσμου.
«Αρκετοί μου έχουν αναφέρει ότι έχουν δοκιμάσει με επιτυχία το κόλπο. Ένας μάλιστα μου έστειλε φωτογραφίες του δαχτύλου του ποδιού του στο οποίο είχε προσαρμόσει μια μικροσκοπική συσκευή», έχει δηλώσει χαρακτηριστικά ο Μάικλ Σμολ.
Ίσως αυτή τη στιγμή να βρίσκεται σε εξέλιξη μια πολύ πιο κερδοφόρα «κομπίνα», για την οποία θα μάθουμε χρόνια αργότερα. Το δύσκολο άλλωστε είναι να βρεθεί ο τρόπος κι όχι οι… επιτήδειοι.
grxpress
Η γοητεία του γρήγορου κέρδους. Παράλληλα και η ικανοποίηση ότι νίκησες το «τέρας». Απέναντί τους ο κανόνας ότι όσο περισσότερο παίζεις τόσο αυξάνονται οι πιθανότητες να χάσεις. Στηρίζεται στο νομοτελειακό «αδιέξοδο» ότι η μπάνκα του καζίνο θα είναι πάντα μεγαλύτερη από τη δική σου.
Μόνο οι επαγγελματίες κατάφεραν, ως εξαιρέσεις του κανόνα, να διαφύγουν. Αυτοί που (όπως ο δικός μας Τζον Τάραμας) μετρούσαν φύλλα στο Blackjack ή οι πολύ επιδέξιοι στο Poker. Κανείς απ’ όσους μακροημέρευσαν στα καζίνο δεν έχει τη φράση «τύχη» στο λεξιλόγιο του. Για αυτό και τα καζίνο έλαβαν μέτρα, είτε «επικηρύσσοντας» τους, είτε στρατολογώντας μηχανές στο Blackjack για το ανακάτεμα των φύλλων.
Η χαρτοπαιξία, λόγω της φύσης των παιχνιδιών, έδινε το δικαίωμα στους μετρ του είδους να γυρίσουν τις πιθανότητες υπέρ τους και σε βάθος χρόνου να είναι αυτοί οι κερδισμένοι. Στη ρουλέτα όμως, που επικρατεί ο νόμος του ψυχρού, καθαρού τζόγου, κανείς δεν κατάφερε να «ξεγελάσει» τον ντίλερ.
Ή... μήπως όχι;
Το 2011 δύο μαθηματικοί από το Πανεπιστήμιο του Περθ στη Δυτική Αυστραλία και το Πολυτεχνείο του Χονγκ Κονγκ, επιχείρησαν με μια μελέτη τους να βάλουν τάξη στο χάος της μπίλιας. Ο Μάικλ Σμολ και ο Μάικλ Τσε έδειξαν ότι με μερικές μετρήσεις και με έναν μικρό υπολογιστή ή ένα smart phone μπορεί κάποιος πραγματικά να αντιστρέψει τις πιθανότητες στη ρουλέτα προς όφελός του.
Το κόλπο έγκειται στο να καταγραφεί πότε η μπίλια και ένα καθορισμένο τμήμα τού περιστρεφόμενου τροχού περνούν από ένα επιλεγμένο σημείο.
Το μοντέλο τους χωρίζει το παιχνίδι σε δύο μέρη: αυτό που συντελείται εν όσω η μπίλια γυρίζει γύρω από τη στεφάνη του τροχού και στη συνέχεια πέφτει, το οποίο είναι εξαιρετικά προβλέψιμο, και στο τι συμβαίνει από τη στιγμή που η μπίλια αρχίζει να αναπηδά σε διάφορα σημεία – διαδικασία η οποία είναι χαοτική.
Οι δύο ερευνητές κατόρθωσαν να υπολογίσουν χονδρικά σε ποιο σημείο η μπίλια είναι πιθανότερο να ξεκινήσει το ακανόνιστο αναπήδημά της και άρα σε ποιο τμήμα του τροχού είναι πιθανότερο να σταματήσει.
Χρησιμοποιώντας μια διακριτική συσκευή μέτρησης, οι Σμολ και Τσε κατάφεραν να προβλέψουν σε ποιο μισό του τροχού θα έπεφτε η μπίλια σε 13 από τις 22 δοκιμές. Σε τρεις δοκιμές μάλιστα το μοντέλο προέβλεψε την ακριβή θέση. Αυτό ισοδυναμεί με αντιστροφή των πιθανοτήτων από 2,7% υπέρ της μπάνκας σε 18% υπέρ του παίκτη.
Αυτός ο αριθμός των δοκιμών είναι πολύ μικρός, γι’ αυτό στη συνέχεια οι επιστήμονες επαλήθευσαν την τεχνική τους με 700 δοκιμές στις οποίες χρησιμοποίησαν ένα αυτόματο σύστημα με κάμερα, το οποίο όμως δεν ήταν καθόλου διακριτικό ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο καζίνο.
Το πιθανότερο είναι βέβαια ότι οι δυο τους εμπνεύστηκαν από τον μοναδικό άνθρωπο που έχει αποδεδειγμένα εφαρμόσει σε καζίνο την τεχνική υπολογισμού της πορείας της μπίλιας.
Στα τέλη της δεκαετίας του ‘70 ένας επιφανής Αμερικανός μαθηματικός, ονόματι Ντόιν Φάρμερ, χρησιμοποίησε τον πρώτο υπολογιστή στον κόσμο που μπορούσε να φορεθεί (κρυμμένο μέσα στο παπούτσι του) για να κερδίσει τα τραπέζια της ρουλέτας στη Νεβάδα. Για περίπου 40 χρόνια όμως δεν είχε αποκαλύψει πώς το έκανε.
Η θεωρία των Σμολ και Τσε τον… ιντρίγκαρε να σπάσει τη μακρά σιωπή του το 2012. «Δεν μιλούσα επειδή δεν ήθελα να κάνω γνωστή οποιαδήποτε πληροφορία θα μπορούσε να εμποδίσει οποιονδήποτε να πάρει τα χρήματα των καζίνο. «Δεν βλέπω πλέον κάποιον ικανό λόγο για να διατηρήσω περισσότερο τη σιωπή μου», έγραψε στο «New Scientist» ο Φάρμερ, ο οποίος σήμερα είναι καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης.
Ο 65χρονος σήμερα καθηγητής Φάρμερ υποστήριξε τότε ότι το μοντέλο των δύο ερευνητών μοιάζει πολύ με το δικό του, με μόνη διαφορά πως εκείνοι θεωρούν ότι η κύρια δύναμη που επιβραδύνει την μπίλια είναι η τριβή με τη στεφάνη, ενώ εκείνος είχε διαπιστώσει ότι αυτή ήταν η αντίσταση του αέρα.
Ο Ντόιν Φάρμερ
Στο «κόλπο» του ο Φάρμερ είχε μεταξύ άλλων συνεργάτη τον συμφοιτητή του στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας στη Σάντα Κρους, Νόρμαν Πάκαρντ, ο οποίος θα γινόταν αργότερα ένας από τους θεμελιωτές της «θεωρίας του χάους».
Στα τέλη της δεκαετίας του ’70 ήταν τελειόφοιτοι και παρέα ίδρυσαν την ομάδα των «Eudaemons» ή «Ευδαιμόνων», εμπνεόμενοι από τη φιλοσοφία του ευδαιμονισμού.
Στόχος τους ήταν να αναπτύξουν με επιστημονικές μεθόδους έναν μαθηματικό τύπο ο οποίος θα τους επέτρεπε να κερδίσουν στη ρουλέτα. Αν το κατάφερναν, θα χρησιμοποιούσαν τα κέρδη για να ιδρύσουν έναν επιστημονικό σύλλογο.
Ύστερα από δύο χρόνια μελετών τα μέλη της ομάδας εφόρμησαν σε καζίνο του Λας Βέγκας εξοπλισμένοι με κρυφές κάμερες – οι οποίες κατέγραφαν τις κινήσεις του τροχού της ρουλέτας και της μπίλιας – και μίνι υπολογιστές «χωμένους» στα παπούτσια τους.
Το σύστημα λειτουργούσε με δύο πρόσωπα: έναν «παίκτη», ο οποίος πόνταρε τα χρήματα, και έναν «παρατηρητή», ο οποίος υπολόγιζε με βάση τα δεδομένα τις πιθανότητες και έδινε οδηγίες στον παίκτη.
Ο «παρατηρητής» τροφοδοτούσε με δεδομένα τον ενσωματωμένο στο παπούτσι του μικρό υπολογιστή, πατώντας ένα διακόπτη με το μεγάλο δάχτυλο του ποδιού του. Αυτός ο υπολογιστής διαβίβαζε την πρόβλεψη στον υπολογιστή που φορούσε ο «παίκτης», μέσω ασθενών ραδιοσημάτων. Ο δεύτερος υπολογιστής, εν συνεχεία, μετέτρεπε τα ραδιοσήματα σε πληροφορίες μέσω ενός δονητικού συστήματος αποτελούμενο από τρεις σωληνοειδείς ενεργοποιητές, που ήταν κρυμμένοι μέσα από το πουκάμισο, συνδέοντας θώρακα και στομάχι.
Η ρουλέτα ήταν νοερά χωρισμένη σε οχτώ κομμάτια, σαν μία πίτσα. Ο «παίκτης» αντιλαμβανόταν σε ποιο από τα οχτώ κομμάτια έπρεπε να τοποθετήσει το ποντάρισμα του, μέσω του αριθμού των ηλεκτρομαγνητών που χτυπούσαν ρυθμικά στο στομάχι του. Υπήρχε και μια ένατη επιλογή: να μη γίνει στην επόμενη μπίλια κανένα ποντάρισμα.
Η εξόρμηση αποδείχθηκε κερδοφόρα αλλά και… καυτή. Οι συσκευές που χρησιμοποιούσαν οι «Ευδαίμονες» ήταν αυτοσχέδιες και η μόνωση στον εξοπλισμό μιας παίκτριας από την ομάδα χάλασε, με αποτέλεσμα να καεί. Κατόπιν αυτού, οι δύο ιδρυτές αποφάσισαν, σύμφωνα με όσα έχουν αναφέρει οι ίδιοι, να διαλύσουν την ομάδα.
Το πείραμά τους όμως είχε στην ουσία πετύχει: απέδειξαν για πρώτη φορά ότι με τη βοήθεια ορισμένων δεδομένων μπορούσε κανείς να προβλέψει με ικανοποιητική ακρίβεια πού θα πέσει η μπίλια μιας ρουλέτας.
Το σύστημά τους απέφερε κέρδος κατά μέσο όρο 44% για κάθε δολάριο που πόνταραν. Δεν είχαν κάνει όμως μεγάλα πονταρίσματα, υπό το φόβο να μην τραβήξουν την προσοχή των ανθρώπων του καζίνο. Όταν σταμάτησαν είχαν κερδίσει συλλογικά 10.000 δολάρια.
Η ιστορία των δύο φοιτητών έγινε βιβλίο πολλά χρόνια αργότερα με τον τίτλο «Η πίτα των Ευδαιμόνων», από τον συγγραφέα Τόμας Μπας. Τα παπούτσια που φορούσαν τότε και το ηλεκτρομαγνητικό σύστημά τους εκτίθενται πλέον στο μουσείο Heinz Nixdorf του Πάντερμπορν της Γερμανίας.
To 2016 o διαπρέπων στον τομέα της πληροφορικής έρευνας Βρετανός επιστήμονας, Γκρέιαμ Κένταλ, υποστήριξε ότι τα τεχνικά μικροπροβλήματα θα μπορούσαν να ξεπεραστούν εύκολα στις μέρες μας και η πρόβλεψη να έχει μεγαλύτερη ακρίβεια.
Και ποιος μπορεί βέβαια να βάλει το χέρι του στη φωτιά ότι το δίδυμο των Φάρμερ και Πάκαρντ δεν επέστρεψε με εξελιγμένη τεχνολογία κάποια χρόνια αργότερα, εφαρμόζοντας το σύστημα με «θύματα» κάποια άλλα καζίνο. Ή ότι κάποιοι επίδοξοι μιμητές τους δεν επιδίδονται ακόμα και σήμερα σε τακτική αφαίμαξης κάποιας μπάνκας, σε κάποιο μέρος του κόσμου.
«Αρκετοί μου έχουν αναφέρει ότι έχουν δοκιμάσει με επιτυχία το κόλπο. Ένας μάλιστα μου έστειλε φωτογραφίες του δαχτύλου του ποδιού του στο οποίο είχε προσαρμόσει μια μικροσκοπική συσκευή», έχει δηλώσει χαρακτηριστικά ο Μάικλ Σμολ.
Ίσως αυτή τη στιγμή να βρίσκεται σε εξέλιξη μια πολύ πιο κερδοφόρα «κομπίνα», για την οποία θα μάθουμε χρόνια αργότερα. Το δύσκολο άλλωστε είναι να βρεθεί ο τρόπος κι όχι οι… επιτήδειοι.
grxpress
ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ
ΜΟΙΡΑΣΤΕΙΤΕ
ΔΕΙΤΕ ΑΚΟΜΑ
ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΟ ΑΡΘΡΟ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΑΟΖ: Θέμα ωρών είναι η έναρξη της γεώτρησης
ΣΧΟΛΙΑΣΤΕ
