Γιορτάζοντας τα 100 χρόνια της κβαντικής μηχανικής
Στο νησί της Ελιγολάνδης (Helgoland) στα ανοικτά των ακτών της Γερμανίας, τον Ιούνιο του 1925 ο Werner Heisenberg έβαλε τα θεμέλια της κβαντομηχανικής.
«Στις τρεις η ώρα ένα πρωί Ιουνίου του 1925, ο 23χρονος Βέρνερ Χάιζενμπεργκ εξαντλημένος και ταλαιπωρημένος από αλλεργίες, ήταν τόσο ταραγμένος που δεν μπορούσε να κοιμηθεί
Αν επιμείνουμε να συνδέσουμε τη γέννηση της κβαντικής μηχανικής με έναν συγκεκριμένο τόπο και ημερομηνία, τότε ο τόπος είναι το νησί της Ελιγολάνδης και η ημερομηνία ο Ιούνιος του 1925 είναι. Εκεί όπου προέκυψε η μνημειώδης δημοσίευση στο Zeitschrift für Physik τον Σεπτέμβριο του 1925, με τίτλο «Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen» («Κβαντική θεωρητική ανα-θεώρηση των κινηματικών και μηχανικών σχέσεων»)
διαβάστε σχετιακά: «Η Ελιγολάνδη με το μοναδικό της δέντρο«
Στο άρθρο του ο Heisenberg έγραφε ότι πρέπει «να εγκαταλείψουμε εντελώς κάθε ελπίδα παρατήρησης των μέχρι τώρα μη παρατηρήσιμων μεγεθών (όπως η θέση και η περίοδος τροχιάς του ηλεκτρονίου)». Σήμερα τα σχόλια του Heisenberg μπορεί να φαίνονται αδιάφορα. Αλλά η πρότασή του σίγουρα θα ήταν σχεδόν αδιανόητη για όσους φυσικούς του μεσοπολέμου που στην πλειοψηφία τους ήταν διαποτισμένοι από την Νευτώνεια μηχανική.
Ο εμπειρότερος στα μαθηματικά Max Born, ένιωσε κάτι οικείο με τις περίεργες «κβαντομηχανικές σχέσεις» του Heisenberg με τις παράξενες διατάξεις που οι μαθηματικοί αποκαλούσαν πίνακες. To περιγράφει στο βιβλίο του Physics in My Generation που εκδόθηκε το 1956: «Δεν θα ξεχάσω ποτέ τη συγκίνηση που βίωσα όταν κατάφερα να συμπυκνώσω τις ιδέες του Heisenberg για τις κβαντικές συνθήκες στη μυστηριώδη εξίσωση PX – XP = h/2πi , που αποτελεί την καρδιά της νέας μηχανική και αργότερα ονομάστηκε σχέση αβεβαιότητας». Ο πίνακας P σχετίζεται με την ορμή ενός σωματιδίου (η ταχύτητα πολλαπλασιαζόμενη με τη μάζα του) και ο πίνακας X σχετίζεται με τη θέση του σωματιδίου, το γράμμα i είναι το μαθηματικό σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας του −1 και h είναι η σταθερά του Πλανκ. Η εξίσωση αυτή εμας λέει ότι ο πολλαπλασιασμός της θέσης επί την ταχύτητα είναι διαφορετικός από τον πολλαπλασιασμό της ταχύτητας επί την θέση. Αν η θέση και η ταχύτητα ήταν αριθμοί δεν θα υπήρχε διαφορά, γιατί π.χ. το 3×4 είναι το ίδιο με το 4×5. Όμως εδώ η θέση και η ταχύτητα είναι πίνακες αριθμών και όταν πολλαπλασιάζουμε δύο πίνακες Α και Β παίζει ρόλο η σειρά πολλαπλασιασμού αφού Α×Β≠Β×Α. Η εξίσωση της αβεβαιότητας μας δίνει τη διαφορά μεταξύ του αποτελέσματος πολλαπλασιασμού δύο ποσοτήτων μείον το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού αν τις αντιμεταθέσουμε.
Η δημοσίευση του Χάιζενμπεργκ τον Σεπτέμβριο του 1925, πριν από έναν αιώνα, είναι ο λόγος για τον οποίο τα Ηνωμένα Έθνη ανακήρυξαν το 2025 Διεθνές Έτος Κβαντικής Επιστήμης και Τεχνολογίας. Είναι μια παγκόσμια πρωτοβουλία για την ευαισθητοποίηση του κοινού για την κβαντική επιστήμη και τις εφαρμογές της, με πολυάριθμες δραστηριότητες σε εξέλιξη καθ’ όλη τη διάρκεια του έτους. Μία από αυτές θα είναι το συνέδριο με τίτλο «Helgoland 2025», που θα διεξαχθεί από τις 9 έως τις 14 Ιουνίου στην Ελιγολάνδη, εκεί όπου ακριβώς 100 χρόνια πριν ο Χάιζενμπεργκ εμπνεύστηκε μηχανική των μητρών, την «πρώτη διατύπωση της κβαντικής θεωρίας» (διαβάστε περισσότερα: Return to Helgoland: celebrating 100 years of quantum mechanics).
Σχεδόν τέσσερις δεκαετίες αργότερα, σε μια συνέντευξη με τον ιστορικό Thomas Kuhn, ο Heisenberg περιγράφει όσα συνέβησαν την δεκαετία του 1920 και οδήγησαν στην ανακάλυψη και τις ερμηνείες της κβαντομηχανικής. Η συνέντευξη μεταφράστηκε στα ελληνικά (384 σελίδες) από τον φυσικό Αποστόλη Παπάζογλου και μπορείτε να την βρείτε ΕΔΩ. Στη συνέχεια παρατίθεται ένα σχετικό μικρό απόσπασμα:
Heisenberg: Ας μιλήσουμε για την άνοιξη και το καλοκαίρι του ’25. Επέστρεψα από την Κοπεγχάγη. Είχα μόλις τελειώσει το άρθρο με τον Kramers για τη διασπορά και, όπως σας είπα, πήγα στο σπίτι μ’ ένα βιβλίο για τις συναρτήσεις Bessel, με την ελπίδα να προβλέψω την ένταση στο άτομο του υδρογόνου.
Kuhn: Στο σπίτι στο Göttingen;
Heisenberg: Ναι στο Göttingen. Είχα πάρει το βιβλίο απ’ το γραφείο του Born – είχε πάρα πολλά εγχειρίδια. Μου έδωσε ένα απ’ τα βιβλία του και προσπάθησα να μελετήσω τις συναρτήσεις Bessel και να δω, αν μπορώ να μαντέψω τις εντάσεις του υδρογόνου. Τότε συνειδητοποίησα ότι δεν μπορούσα – ήταν εξαιρετικά πολύπλοκο.
Kuhn: Θυμάστε πόσο καιρό το προσπαθούσατε;
Heisenberg: Μερικές εβδομάδες, μόνο μερικές εβδομάδες. Μετά είδα σταδιακά, ότι το πρώτο πράγμα που έπρεπε να ξέρω, ήταν το πώς μπορώ να μάθω τα πλάτη του γινομένου ΧY, αν γνωρίζω όλα τα πλάτη ενός μεγέθους Χ και ενός άλλου μεγέθους Υ.
Kuhn: Δεν μου είναι σαφές, το πώς από το πρόβλημα του ατόμου του υδρογόνου, με το οποίο παλεύατε, προέκυψε το εν λόγω πρόβλημα.
Heisenberg:
Το θέμα είναι, ότι στο άτομο του υδρογόνου προκύπτουν μάλλον πολύπλοκοι
πολλαπλασιασμοί, μάλλον πολύπλοκα μαθηματικά και όμως στο τέλος έχεις μια συνάρτηση Bessel ως πλάτος. Αλλά μετά βλέπεις, ότι αυτή η συνάρτηση προκύπτει μέσω πολλών και πολύπλοκων διαδικασιών υπολογισμού. Και σκέφτηκα: «να προσπαθήσω να μιμηθώ αυτές τις διαδικασίες, με τον ίδιο τρόπο που μιμήθηκα τη θεωρία διαταραχών στην εξίσωση διασποράς, δηλαδή πολλαπλασιάζοντας τα πλάτη». Μετά είδα, ότι δεν μπορούσα να μιμηθώ αυτές τις διαδικασίες, διότι τα μαθηματικά ήταν τόσο πολύπλοκα. Τότε άρχισα να σκέφτομαι σχετικά με τη θεμελιώδη πλευρά της διαδικασίας. Και αυτή ήταν, βέβαια, ότι οι πιο στοιχειώδεις πράξεις είναι η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Υπήρχε ένα ακόμη σημείο σχετικά μ’ αυτό. Είχα σκεφτεί για κάποιο διάστημα σχετικά με διορθώσεις υψηλότερης τάξης στην ακτινοβολία. Προκειμένου να υπολογιστεί η ακτινοβολία, ας πούμε, δεν έχεις μόνο τη διπολική ακτινοβολία, έχεις την τετραπολική και πάει λέγοντας. Υπάρχουν τότε τμήματα στην αλληλεπίδραση μεταξύ ηλεκτρονίων και ακτινοβολίας, τα οποία δεν εξαρτώνται γραμμικά από τη συντεταγμένη, αλλά
από το τετράγωνό της. Και σκέφτηκα: «ακόμα κι αν είχα λύσει το όλο πρόβλημα, πώς θα μπορούσα να υπολογίσω την τετραπολική ακτινοβολία αντί για τη διπολική;». Και έτσι έφτασα στην ιδέα, ότι κάποιος έπρεπε πρώτα να ελέγξει αν «μπορεί γενικά να πολλαπλασιαστεί το Χ με το Y. Αν τα Χ και Y είναι γνωστά, ως πλάτη μοτίβων της κβαντικής θεωρίας, μπορεί να προβλεφθεί το μοτίβο ΧY;». Αυτό πρακτικά είχε ήδη γίνει στο άρθρο για τη διασπορά. Στο άρθρο εκείνο είχαμε πρακτικά τον πολλαπλασιασμό μητρών, χωρίς βέβαια να το γνωρίζουμε.
Και μετά είδα, ότι μπορεί να πολλαπλασιαστεί το Χ με το Y. Υπήρχε ένα πολύ δυσάρεστο χαρακτηριστικό σχετικά με το ότι το Y·Χ δεν ισούται με Y·Χ. Αυτό το είδα και ήμουν πολύ απογοητευμένος με την κατάσταση. Αλλά μετά είπα: «τελικά, δεν προσπαθώ ένα πρόβλημα, στο οποίο να πρέπει να αντιμετωπίσω μόνο πολύ απλούς πολλαπλασιασμούς – όχι τόσο πολύπλοκους όπως στην κίνηση Kepler;». Και έτσι κατέληξα στον αναρμονικό ταλαντωτή – όπου αν εφαρμόσεις τη θεωρία διαταραχών, προκύπτουν λίγες δυνάμεις του Χ και αυτό είναι αντιμετωπίσιμο. Έτσι είπα: «τώρα πρέπει να ελέγξω, αν μπορώ να κατασκευάσω μια πλήρη κβαντομηχανική για τον αναρμονικό ταλαντωτή, χρησιμοποιώντας απλά το είδος πολλαπλασιασμού, που χρησιμοποιήθηκε στη θεωρία διασποράς». Και αυτό έκανα. Νομίζω, ότι ταυτόχρονα έπρεπε να κάνω κάποιες διαλέξεις στο Göttingen. Αυτό ήταν νωρίς το Μάιο, στην αρχή των διακοπών. Και τότε αρρώστησα. Είχα ένα πολύ σοβαρό αλλεργικό πυρετό, δεν μπορούσα να δω και ήμουν σε πολύ άσχημη κατάσταση. Ρώτησα τον Born αν θα μπορούσα να πάω στην Ελιγολάνδη, όπου μπορεί κανείς να ξεφορτωθεί τις αλλεργίες. Εκείνο τον καιρό ασχολούμουν ισχυρά μ’ αυτούς τους υπολογισμούς και θυμάμαι ότι Kuhn: Να σας διακόψω, αν μου επιτρέπετε. Ίσως λείπει ένα στοιχείο εδώ. Κάποιος θα μπορούσε να καθοδηγηθεί από την εξίσωση διασποράς, για το πώς μπορεί να πολλαπλασιαστεί το Χ με το Y. Υπάρχει όμως και το βήμα, που εμπλέκεται στο στάδιο της εκ μέρους σας αντιμετώπισης της όλης σειράς των Χ, ως δυναμικής μεταβλητής, εφαρμόζοντας το νόμο του Newton στο Χ, το οποίο θεωρείται τώρα ως σειρά. Αυτό δεν το έκανε η εξίσωση διασποράς.
Heisenberg: Δεν μπορώ να πω ότι αυτό μου προέκυψε σε μια μόνο στιγμή, την οποία να θυμάμαι. Προέκυψε σταδιακά, ως κάτι σχεδόν προφανές. Υπό αυτή την έννοια, θα έλεγε κάποιος: «τι σημαίνει το Χ(t);». Το Χ(t) σ’ ένα άτομο δεν σημαίνει πραγματικά μια τροχιά, διότι μια τέτοια τροχιά έχει τη λάθος συχνότητα και πάει λέγοντας. Οπότε τι σημαίνει; Σημαίνει οπωσδήποτε κάποιο είδος ακτινοβολίας, οπότε όλες εκείνες οι πιθανά εκπεμπόμενες συχνότητες εκπροσωπούν με κάποιο τρόπο το Χ(t). Το «εκπροσωπούν με κάποιο τρόπο» ήταν φυσικά ένας πολύ ασαφής όρος, όμως ένιωθα: «γιατί αυτή η αναπαράσταση του Χ(t) να μην υπακούει επίσης στους νόμους της κίνησης, ότι m·X’(t) είναι η ορμή και πάει λέγοντας;». Δεν έβλεπα λόγο να μην μπορεί να συμβεί κάτι τέτοιο. Έπρεπε κάποιος τουλάχιστον να το προσπαθήσει. Και μετά σκέφτηκα: «δεν μπορεί να βρεθεί ένα απλό παράδειγμα, στο οποίο να προσπαθήσω να δω πώς δουλεύουν τα πράγματα;». Και ο αναρμονικός ταλαντωτής ήταν ένα τέτοιο παράδειγμα. Ταυτόχρονα, αμφέβαλλα πολύ για το αν το όλο εγχείρημα θα δούλευε. Έτσι είπα: «αν πράγματι αντικαταστήσω το Χ(t) με αυτά τα περίεργα υποδείγματα στοιχείων, θα είχα καμία τύχη, για παράδειγμα, να δείξω τη διατήρηση της ενέργειας;». Έτσι αρχικά αμφέβαλλα, για το αν θα ίσχυε η διατήρηση της ενέργειας. Αυτή ήταν ακριβώς η κατάσταση όταν έφυγα από το Göttingen για την Ελιγολάνδη – ήμουν εν μέσω τέτοιων σκέψεων. Σκεφτόμουν: «τώρα έχω ένα πρόβλημα, στο οποίο μπορώ να εργαστώ και να κάνω υπολογισμούς και ίσως προκύψει ότι η ενέργεια διατηρείται». Μετά αρρώστησα. Πήρα το βραδινό τρένο για το Cuxhaven και έπρεπε να μπω σ’ ένα πλοίο το πρωί. Ήμουν υπερβολικά κουρασμένος και το πρόσωπό μου ήταν πρησμένο. Πήγα για πρωινό σ’ ένα μικρό πανδοχείο και η οικοδέσποινα είπε: «πρέπει να πέρασες δύσκολη νύχτα. Πρέπει να σε έδειρε κάποιος». Της είπα, ότι ήμουν λίγο άρρωστος και με συμπόνεσε. Πήρα το πλοίο, έφτασα στο Ελιγολάνδη και τις πρώτες μέρες συνέχισα να είμαι αρκετά άρρωστος. Αλλά ταυτόχρονα, άρχισα να εργάζομαι πολύ σκληρά και ήμουν σε κατάσταση μεγάλου ενθουσιασμού, διότι έβλεπα ότι το πράγμα δούλευε τόσο καλά.
Θυμάμαι ότι είχα το σχήμα, μέσω του οποίου θα μπορούσα να δείξω τη διατήρηση της ενέργειας και δούλευα όλη νύχτα, κάνοντας αρκετά σφάλματα στους υπολογισμούς. Γύρω στις δύο ή τρεις το πρωί είδα ότι η διατήρηση της ενέργειας ήταν σωστή. Ήμουν υπερβολικά ενθουσιασμένος και ήταν ήδη μόνο νωρίς το πρωί. Αποφάσισα να βγω μια βόλτα. Σχεδόν σκαρφάλωσα έναν από τους γκρεμούς της Ελιγολάνδης απλά για την έξαψη και ένιωσα: «λοιπόν τώρα κάτι έχει συμβεί». Μετά από λίγο γύρισα σπίτι και κοιμήθηκα βαθιά. Έπειτα ξεκίνησα να γράφω σ’ ένα χαρτί.
Kuhn: Πριν πάτε στην Ελιγολάνδη, είχατε λύσει το πρόβλημα των εντάσεων του αναρμονικού ταλαντωτή, αλλά δεν είχατε καταλήξει στη διατήρηση της ενέργειας;
Heisenberg: Όχι, είχα στο χαρτί μόνο τις γενικές ιδέες, ότι θα χρησιμοποιούσα ένα Χ που θα ήταν πάντα ένα Χ του n και του n-1. Μετά συνειδητοποίησα, ότι ένας αναρμονικός ταλαντωτής δεν είχε μόνο στοιχεία μητρών από το n στο n-1, αλλά επίσης από το n στο n-2 ή το n-3, ανάλογα με το είδος του ταλαντωτή. Και είχα γενικές εξισώσεις – πώς να υπολογίσω το Χ2, αν είχα το Χ και πώς το Χ·Y, αν είχα τα Χ και Y. Μετά βέβαια με προβλημάτιζε τρομερά το γεγονός, ότι το Χ·Y δεν ήταν ίσο με το Y·Χ. Όμως είπα: «ευτυχώς δεν το χρειάζομαι, ευτυχώς δεν είναι τόσο σημαντικό, διότι έχω μόνο το Χ και το Χ·Χ». Αυτό φυσικά ήταν ένα θέμα. Δεν μου πέρασε ποτέ απ’ το μυαλό, ότι θα έπρεπε να γράψω Χ·Px συν ή μείον Px·X. Έπρεπε βέβαια να σκεφτώ την κβαντική συνθήκη. Και αυτό ήταν ένα σημαντικό σημείο. Γνώριζα όμως από την Κοπεγχάγη, πόσο σημαντικός ήταν ο κανόνας άθροισης των Thomas και Kuhn. Αυτό είχε πάρει αρκετό καιρό και νομίζω ότι ήμουν στην Κοπεγχάγη όταν είδα, πώς θα μπορούσα να μεταφράσω τον κανόνα των Thomas και Kuhn σε μια κβαντομηχανική – όπως την αποκαλώ – πρόταση, όπου εμφανίζονταν μόνο διαφορές. Δεν είδα, ότι ήταν ένας μεταθετικός κανόνας, αλλά είδα ότι θα μπορούσε να μεταφραστεί σε μια πρόταση, έτσι ώστε να εμφανίζονται μόνο διαφορές ή γινόμενα μεταξύ πλατών. Αυτό σήμαινε, ότι θα μπορούσα να μεταφέρω αυτόν τον κανόνα αθροίσματος στο όλο μου σχήμα και τότε ο κανόνας θα τα διόρθωνε όλα – μπορούσα να δω, ότι θα διόρθωνε την κβάντωση.
Kuhn: Προσπαθήσατε να το κάνετε με άλλους τρόπους; Ήταν δεδομένο, ότι απουσίαζε από το σχήμα σας μια κβαντική συνθήκη και υπήρχαν πολλά σημεία και πολλοί τρόποι, όπου θα μπορούσε κανείς την αναζητήσει. Η χρήση του κανόνα των Thomas και Kuhn είναι μια μεγαλοφυής πράξη, αλλά θα υπέθετε κάποιος, ότι υπήρξαν και αρκετές άλλες ενδιάμεσες προσπάθειες.
Heisenberg: Όχι, θα έλεγα ότι ήταν μάλλον τετριμμένο για τους ακόλουθους λόγους: Πρώτα απ’ όλα, υπήρχε το ολοκλήρωμα pdq. Έπειτα είχαμε δει, ότι το ολοκλήρωμα είναι 1⁄2 σε κάποιες περιπτώσεις και σε κάποιες άλλες όχι. Αυτό έπαιξε ένα ρόλο. Διότι τότε ένιωθα, ότι ίσως μόνο η διαφορά του ολοκληρώματος μεταξύ μιας κβαντικής κατάστασης και της επόμενης να ήταν σημαντική. Έτσι σκέφτηκα: «ίσως δεν πρέπει να γράψω το ολοκλήρωμα pdq, αλλά να γράψω τη διαφορά μεταξύ του ολοκληρώματος σε μια κατάσταση από το ολοκλήρωμα στη γειτονική κατάσταση». Μετά είδα, ότι αν το έκανα και προσπαθούσα να το μεταφράσω σύμφωνα με το
σχήμα της θεωρίας διασποράς, θα προέκυπτε ο κανόνας άθροισης των Thomas και Kuhn. Και αυτό ήταν το θέμα. Έπειτα σκέφτηκα: «αυτός είναι προφανώς ο τρόπος». Στη συνέχεια επέλεξα ένα ακόμη σημείο, τη θεμελιώδη κατάσταση. Εφόσον ο κανόνας άθροισης των Thomas και Kuhn είναι απλά η διαφορά μεταξύ του ολοκληρώματος pdq εδώ και εκεί, ήταν σαφές ότι έλειπε μια σταθερά ολοκλήρωσης. Και τότε μπορούσε κανείς να δει, ότι αυτή η σταθερά θα μπορούσε να προκύψει από τη θεμελιώδη κατάσταση, λέγοντας ότι πρέπει να υπάρχει μια χαμηλότερη κατάσταση, προσδιορισμένη από το γεγονός ότι το πλάτος της πρέπει να είναι
μηδέν, διότι δεν υπάρχει χαμηλότερη κατάσταση. Αυτό προσδιόρισε τη σταθερά και όλα έγιναν σαφή.
Kuhn: Αυτό πρέπει να συνέβη λίγο αργότερα.
Heisenberg: Ναι, αλλά το καθοριστικό σημείο ήταν η διατήρηση της ενέργειας – αυτό ήταν το κύριο σημείο. Με κάποιο τρόπο, δεν μπορούσα να δω ότι θα προέκυπτε. Ήρθε σαν ένα είδος ‘μάννα εξ ουρανού’ (‘Geschenk des Himmels’). Και ένιωσα, ότι αν προέκυπτε, θα σήμαινε ότι κάτι υπάρχει σ’ αυτό το σχήμα, ότι διαθέτει εσωτερική συνέπεια. Αυτό ήταν λοιπόν το σημείο, που πείστηκα ότι είχα βρει κάτι πραγματικό. Αυτή η δουλειά με τον κανόνα άθροισης των Thomas και Kuhn ήταν μια μάλλον προφανής υπόθεση και στη συνέχεια ήθελα να δω, πώς θα προέκυπταν ημιακέραιοι κβαντικοί αριθμοί απ’ τον αναρμονικό ταλαντωτή. Μετά δεν θυμάμαι τι έκανα πρώτα. Πιστεύω ότι το πρώτο πράγμα ήταν ξανά, να γράψω επιστολή στον Pauli, δεν
είμαι σίγουρος.(…)
διαβάστε ολόκληρη η συνέντευξη ΕΔΩ
Πηγή ylikonet.gr
https://physicsgg.me/
tinanantsou.blogspot.gr
