2022-07-30 12:03:16
του καθηγητή του ΑΠΘ Χάρη Βάρβογλη
Στο βιβλίο μου «Ιστορία και εξέλιξη των ιδεών στη φυσική» γράφω: «Όσον αφορά τα μαθηματικά, αυτά από την αρχή αποτέλεσαν βασικό εργαλείο της φυσικής. Όμως η έρευνα για τις βασικές αρχές της φυσικής έχει καταλήξει σήμερα να είναι τόσο εξειδικευμένη και να απαιτεί τόσο εκτεταμένο μαθηματικό υπόβαθρο, ώστε το εργαλείο εξελίχθηκε τελικά σε τέτοιο βαθμό, που να είναι πολύ δύσκολη η διαφοροποίηση μεταξύ ενός εφαρμοσμένου μαθηματικού και ενός θεωρητικού φυσικού.»
Υπάρχει όμως, συμπληρώνω, ευδιάκριτη διαφορά μεταξύ ενός καθαρού μαθηματικού και ενός θεωρητικού φυσικού. Για να το θέσω απλοϊκά, ένα καθαρός μαθηματικός αντιλαμβάνεται τις εξισώσεις ενός μοντέλου που περιγράφει κάποιο φυσικό φαινόμενο και μπορεί να τις λύσει (έστω και προσεγγιστικά). Τις εξισώσεις όμως αυτές έχει διατυπώσει ένα φυσικός, ο οποίος μπορεί και να αντιληφθεί όχι μόνο ποιες από τις λύσεις έχουν φυσική σημασία αλλά και ποια είναι τα όρια του μοντέλου που περιγράφουν αυτές οι εξισώσεις
. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις της διάδοσης του ήχου στον αέρα λύνονται σχετικά εύκολα και η λύση μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο, χωρίς να μηδενίζεται ποτέ. Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι «κάπου» στον αέρα υπάρχει η φωνή του Σωκράτη, επειδή το μοντέλο που περιγράφει τη χρονική εξέλιξη της φωνής ισχύει μόνο εφόσον μπορούμε να θεωρήσουμε τον αέρα ως ρευστό. Όταν όμως το πλάτος του κύματος της λύσης φτάσει στις διαστάσεις ενός μορίου το μοντέλο παύει να ισχύει, το ίδιο φυσικά και η λύση.
Μια χαρακτηριστική περίπτωση αφορά τους μαθηματικούς Πουανκαρέ και Καραθεοδωρή και τον φυσικό Αϊνστάιν στην ανάπτυξη της θεωρίας της σχετικότητας. Λίγο πριν από τη δημοσίευση της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας (ΕΘΣ) από τον Αϊνστάιν ο Πουανκαρέ, με αφορμή το πείραμα των Michelson και Morley, είχε δημοσιεύσει την πλήρη θεωρία των «μετασχηματισμών Λόρεντς», που αποτελούν τη μαθηματική περιγραφή της ΕΘΣ. Εξακολουθούσε όμως να πιστεύει στην έννοια του αιθέρα. Το αποφασιστικό βήμα έκανε ο Αϊνστάιν ένα μήνα αργότερα, θεωρώντας ότι τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται στο κενό. Μεταγενέστερα ο Καραθεοδωρή απέδειξε, το 1923, ότι η ΕΘΣ ανήκει σε ένα σύνολο θεωριών που βασίζονται σε εύλογα απλά αξιώματα και στο αποτέλεσμα του πειράματος των Michelson και Morley. Από όλες αυτές τις θεωρίες όμως φυσική σημασία έχει -μέχρι σήμερα- μόνο η ΕΘΣ που εισηγήθηκε ο Αϊνστάιν το 1905. Σε μια άλλη περίπτωση ο Καραθεοδωρή απέδειξε λίγο πριν από τα Χριστούγεννα του 1916 τις εξισώσεις της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας μέσω της γενικής αρχής της «ελάχιστης» δράσης (τα εισαγωγικά επειδή σε ορισμένα προβλήματα είναι μέγιστη). Ο Αϊνστάιν όμως είχε καταφέρει να αποδείξει τις συγκεκριμένες εξισώσεις της θεωρίας του με έναν «ευρηματικό» τρόπο τρεις μήνες νωρίτερα. Και στις τρεις περιπτώσεις η «διαίσθηση» του φυσικού πρόλαβε ή υπερίσχυσε της «αυστηρότητας» του μαθηματικού.
Μια που έγινε λόγος για τον Πουανκαρέ, αξίζει να αναφερθώ και σε μια άλλη περίπτωση «ιστορικού» λάθους του. Παρόλο που ήταν από τους καλύτερους εφαρμοσμένους μαθηματικούς, δεν μπόρεσε και σε αυτή την περίπτωση να ξεφύγει από την «παγίδα» του καθιερωμένου μαθηματικού μοντέλου. Η λύσεις των εξισώσεων του Μάξγουελ, που είναι και σήμερα το βασικό μοντέλο για την εκπομπή και διάδοση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, προβλέπουν ότι αυτά διαδίδονται σε ευθεία γραμμή. Έτσι είχε τη γνώμη ότι τα πειράματα του Marconi, ο οποίος προσπαθούσε να ανιχνεύσει ραδιοφωνικά κύματα πέρα από τον ορίζοντα ενός τόπου, ήταν καταδικασμένα σε αποτυχία. Δεν γνώριζε όμως την ύπαρξη της ιονόσφαιρας, η οποία ανακλά τα ραδιοφωνικά κύματα και τα υποχρεώνει να ακολουθούν την καμπυλότητα της Γης. Ούτε ο Μαρκόνι γνώριζε, βέβαια, την ύπαρξη της ιονόσφαιρας, αλλά αυτός δεν επηρεάστηκε από τις προβλέψεις του μαθηματικού μοντέλου, πιστεύοντας ότι αξίζει τον κόπο να δοκιμάσουμε το πείραμα.
Μια περίπτωση, για την οποία έχω προσωπική αντίληψη, είναι το πρόβλημα των διάκενων Kirkwood στην κατανομή των αστεροειδών. Ο Kirkwood πρώτος διαπίστωσε ότι δεν υπάρχουν αστεροειδείς με μεγάλο ημιάξονα τροχιάς που να αντιστοιχεί (μέσω του τρίτου νόμου του Kepler) σε ορισμένους «απλές» αναλογίες της περιόδου περιφοράς του αστεροειδούς περί τον Ήλιο ως προς την περίοδο περιφοράς του Δία. Αξιοπρόσεκτο είναι ότι, ενώ σε ορισμένες αναλογίες η κατανομή των αστεροειδών έχει «βαθιά» κενά, σε άλλες δεν έχει. Το βαρυτικό μοντέλο του κυκλικού περιορισμένου προβλήματος των τριών σωμάτων (Ήλιος-Δίας-αστεροειδής) δεν μπορούσε να ερμηνεύσει τις παρατηρήσεις, αφού δεν συνεπάγεται μεταβολή του μεγάλου ημιλάξονα των αστεροειδών. Χρειάστηκε να «βελτιώσουμε» τα βαρυτικό μοντέλο στο επόμενο πολυπλοκότερο, αυτό του ελλειπτικού περιορισμένου προβλήματος, για να ερμηνεύσουμε την παρουσία και την απουσία κενών. Υπήρχε όμως και μια «ενδιάμεση» περίπτωση, αυτή του συντονισμού 7:3 (7 περιφορές του αστεροειδούς για κάθε 3 περιφορές του Δία) στην οποία η κατανομή έχει ένα «ρηχό» κενό. Η αριθμητική ολοκλήρωση των τροχιών των αστεροειδών εκεί έδειξε ότι «διαρρέουν» από αυτή τη θέση σε χρονική κλίμακα μερικών δεκάδων εκατομμυρίων ετών, όταν η ηλικία του ηλιακού συστήματος είναι 4 δισεκατομμύρια χρόνια. Προφανώς οι αρχικοί αστεροειδείς είχαν ήδη διαφύγει προ πολλού. Τότε πώς δικαιολογείται η παρατηρούμενη παρουσία αστεροειδών σήμερα; Η απάντηση -για έναν φυσικό- είναι προφανής: το βαρυτικό μοντέλο δεν ισχύει σε αυτή την περίπτωση και χρειάζεται βελτίωση. Η μηχανική ενέργεια, Ε, και ο ημιάξονας της τροχιάς ενός αστεροειδούς, α, συνδέονται με την απλή σχέση α = -1/Ε. Ο μέσος όρος της μεταβολής της ενέργειας στο περιορισμένο πρόβλημα των τριών σωμάτων είναι σχεδόν μηδέν, άρα ο μεγάλος ημιάξονας (και επομένως και η περίοδος) δεν μεταβάλλεται εύκολα. Επομένως το μοντέλο χρειάζεται «βελτίωση», με την εισαγωγή μη βαρυτικών δυνάμεων, οι οποίες μπορούν να μεταβάλλουν τη μηχανική ενέργεια ενός αστεροειδούς. Μια τέτοια δύναμη είναι η πίεση της ακτινοβολίας του Ήλιου στην επιφάνεια του αστεροειδούς, που ονομάζεται φαινόμενο Yarkovsky. Κατ’ αυτό το φαινόμενο η μηχανική ενέργεια ενός αστεροειδούς είτε αυξάνεται είτε ελαττώνεται, ανάλογα με το φορά περιστροφής του. Με αυτό τον τρόπο «εισέρχονται» στην περιοχή του διακένου αστεροειδείς, που έχουν αρχικά μεγαλύτερο ή μικρότερο ημιάξονα. Οι υπολογισμοί δείχνουν ότι ο ρυθμός «εισροής» αστεροειδών ισούται με τον ρυθμό διαρροής. Μια καλή ιδέα, που σίγουρα δεν θα είχε ένας μαθηματικός.
Ευχαριστώ θερμά τον κ. Βάρβογλη για το άρθρο. Τιμή μου.
tinanantsou.blogspot.gr
Στο βιβλίο μου «Ιστορία και εξέλιξη των ιδεών στη φυσική» γράφω: «Όσον αφορά τα μαθηματικά, αυτά από την αρχή αποτέλεσαν βασικό εργαλείο της φυσικής. Όμως η έρευνα για τις βασικές αρχές της φυσικής έχει καταλήξει σήμερα να είναι τόσο εξειδικευμένη και να απαιτεί τόσο εκτεταμένο μαθηματικό υπόβαθρο, ώστε το εργαλείο εξελίχθηκε τελικά σε τέτοιο βαθμό, που να είναι πολύ δύσκολη η διαφοροποίηση μεταξύ ενός εφαρμοσμένου μαθηματικού και ενός θεωρητικού φυσικού.»
Υπάρχει όμως, συμπληρώνω, ευδιάκριτη διαφορά μεταξύ ενός καθαρού μαθηματικού και ενός θεωρητικού φυσικού. Για να το θέσω απλοϊκά, ένα καθαρός μαθηματικός αντιλαμβάνεται τις εξισώσεις ενός μοντέλου που περιγράφει κάποιο φυσικό φαινόμενο και μπορεί να τις λύσει (έστω και προσεγγιστικά). Τις εξισώσεις όμως αυτές έχει διατυπώσει ένα φυσικός, ο οποίος μπορεί και να αντιληφθεί όχι μόνο ποιες από τις λύσεις έχουν φυσική σημασία αλλά και ποια είναι τα όρια του μοντέλου που περιγράφουν αυτές οι εξισώσεις
Μια χαρακτηριστική περίπτωση αφορά τους μαθηματικούς Πουανκαρέ και Καραθεοδωρή και τον φυσικό Αϊνστάιν στην ανάπτυξη της θεωρίας της σχετικότητας. Λίγο πριν από τη δημοσίευση της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας (ΕΘΣ) από τον Αϊνστάιν ο Πουανκαρέ, με αφορμή το πείραμα των Michelson και Morley, είχε δημοσιεύσει την πλήρη θεωρία των «μετασχηματισμών Λόρεντς», που αποτελούν τη μαθηματική περιγραφή της ΕΘΣ. Εξακολουθούσε όμως να πιστεύει στην έννοια του αιθέρα. Το αποφασιστικό βήμα έκανε ο Αϊνστάιν ένα μήνα αργότερα, θεωρώντας ότι τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται στο κενό. Μεταγενέστερα ο Καραθεοδωρή απέδειξε, το 1923, ότι η ΕΘΣ ανήκει σε ένα σύνολο θεωριών που βασίζονται σε εύλογα απλά αξιώματα και στο αποτέλεσμα του πειράματος των Michelson και Morley. Από όλες αυτές τις θεωρίες όμως φυσική σημασία έχει -μέχρι σήμερα- μόνο η ΕΘΣ που εισηγήθηκε ο Αϊνστάιν το 1905. Σε μια άλλη περίπτωση ο Καραθεοδωρή απέδειξε λίγο πριν από τα Χριστούγεννα του 1916 τις εξισώσεις της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας μέσω της γενικής αρχής της «ελάχιστης» δράσης (τα εισαγωγικά επειδή σε ορισμένα προβλήματα είναι μέγιστη). Ο Αϊνστάιν όμως είχε καταφέρει να αποδείξει τις συγκεκριμένες εξισώσεις της θεωρίας του με έναν «ευρηματικό» τρόπο τρεις μήνες νωρίτερα. Και στις τρεις περιπτώσεις η «διαίσθηση» του φυσικού πρόλαβε ή υπερίσχυσε της «αυστηρότητας» του μαθηματικού.
Μια που έγινε λόγος για τον Πουανκαρέ, αξίζει να αναφερθώ και σε μια άλλη περίπτωση «ιστορικού» λάθους του. Παρόλο που ήταν από τους καλύτερους εφαρμοσμένους μαθηματικούς, δεν μπόρεσε και σε αυτή την περίπτωση να ξεφύγει από την «παγίδα» του καθιερωμένου μαθηματικού μοντέλου. Η λύσεις των εξισώσεων του Μάξγουελ, που είναι και σήμερα το βασικό μοντέλο για την εκπομπή και διάδοση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, προβλέπουν ότι αυτά διαδίδονται σε ευθεία γραμμή. Έτσι είχε τη γνώμη ότι τα πειράματα του Marconi, ο οποίος προσπαθούσε να ανιχνεύσει ραδιοφωνικά κύματα πέρα από τον ορίζοντα ενός τόπου, ήταν καταδικασμένα σε αποτυχία. Δεν γνώριζε όμως την ύπαρξη της ιονόσφαιρας, η οποία ανακλά τα ραδιοφωνικά κύματα και τα υποχρεώνει να ακολουθούν την καμπυλότητα της Γης. Ούτε ο Μαρκόνι γνώριζε, βέβαια, την ύπαρξη της ιονόσφαιρας, αλλά αυτός δεν επηρεάστηκε από τις προβλέψεις του μαθηματικού μοντέλου, πιστεύοντας ότι αξίζει τον κόπο να δοκιμάσουμε το πείραμα.
Μια περίπτωση, για την οποία έχω προσωπική αντίληψη, είναι το πρόβλημα των διάκενων Kirkwood στην κατανομή των αστεροειδών. Ο Kirkwood πρώτος διαπίστωσε ότι δεν υπάρχουν αστεροειδείς με μεγάλο ημιάξονα τροχιάς που να αντιστοιχεί (μέσω του τρίτου νόμου του Kepler) σε ορισμένους «απλές» αναλογίες της περιόδου περιφοράς του αστεροειδούς περί τον Ήλιο ως προς την περίοδο περιφοράς του Δία. Αξιοπρόσεκτο είναι ότι, ενώ σε ορισμένες αναλογίες η κατανομή των αστεροειδών έχει «βαθιά» κενά, σε άλλες δεν έχει. Το βαρυτικό μοντέλο του κυκλικού περιορισμένου προβλήματος των τριών σωμάτων (Ήλιος-Δίας-αστεροειδής) δεν μπορούσε να ερμηνεύσει τις παρατηρήσεις, αφού δεν συνεπάγεται μεταβολή του μεγάλου ημιλάξονα των αστεροειδών. Χρειάστηκε να «βελτιώσουμε» τα βαρυτικό μοντέλο στο επόμενο πολυπλοκότερο, αυτό του ελλειπτικού περιορισμένου προβλήματος, για να ερμηνεύσουμε την παρουσία και την απουσία κενών. Υπήρχε όμως και μια «ενδιάμεση» περίπτωση, αυτή του συντονισμού 7:3 (7 περιφορές του αστεροειδούς για κάθε 3 περιφορές του Δία) στην οποία η κατανομή έχει ένα «ρηχό» κενό. Η αριθμητική ολοκλήρωση των τροχιών των αστεροειδών εκεί έδειξε ότι «διαρρέουν» από αυτή τη θέση σε χρονική κλίμακα μερικών δεκάδων εκατομμυρίων ετών, όταν η ηλικία του ηλιακού συστήματος είναι 4 δισεκατομμύρια χρόνια. Προφανώς οι αρχικοί αστεροειδείς είχαν ήδη διαφύγει προ πολλού. Τότε πώς δικαιολογείται η παρατηρούμενη παρουσία αστεροειδών σήμερα; Η απάντηση -για έναν φυσικό- είναι προφανής: το βαρυτικό μοντέλο δεν ισχύει σε αυτή την περίπτωση και χρειάζεται βελτίωση. Η μηχανική ενέργεια, Ε, και ο ημιάξονας της τροχιάς ενός αστεροειδούς, α, συνδέονται με την απλή σχέση α = -1/Ε. Ο μέσος όρος της μεταβολής της ενέργειας στο περιορισμένο πρόβλημα των τριών σωμάτων είναι σχεδόν μηδέν, άρα ο μεγάλος ημιάξονας (και επομένως και η περίοδος) δεν μεταβάλλεται εύκολα. Επομένως το μοντέλο χρειάζεται «βελτίωση», με την εισαγωγή μη βαρυτικών δυνάμεων, οι οποίες μπορούν να μεταβάλλουν τη μηχανική ενέργεια ενός αστεροειδούς. Μια τέτοια δύναμη είναι η πίεση της ακτινοβολίας του Ήλιου στην επιφάνεια του αστεροειδούς, που ονομάζεται φαινόμενο Yarkovsky. Κατ’ αυτό το φαινόμενο η μηχανική ενέργεια ενός αστεροειδούς είτε αυξάνεται είτε ελαττώνεται, ανάλογα με το φορά περιστροφής του. Με αυτό τον τρόπο «εισέρχονται» στην περιοχή του διακένου αστεροειδείς, που έχουν αρχικά μεγαλύτερο ή μικρότερο ημιάξονα. Οι υπολογισμοί δείχνουν ότι ο ρυθμός «εισροής» αστεροειδών ισούται με τον ρυθμό διαρροής. Μια καλή ιδέα, που σίγουρα δεν θα είχε ένας μαθηματικός.
Ευχαριστώ θερμά τον κ. Βάρβογλη για το άρθρο. Τιμή μου.
tinanantsou.blogspot.gr
ΜΟΙΡΑΣΤΕΙΤΕ
ΔΕΙΤΕ ΑΚΟΜΑ
ΕΠΟΜΕΝΟ ΑΡΘΡΟ
Στην πρώτη θέση το Κωνσταντίνου και Ελένης...
ΣΧΟΛΙΑΣΤΕ
